bGvyK. Mesaj 1 Sayı Sistemleri Konu Özeti Rakam Sayıları kullanmak için kullanılan {O, 1, 2,3,4,5,6, 7,8,9} sembollerinden her birine "rakam" denir. Sayma Sayıları Pozitif tam sayıların oluşturduğu S = {1, 2, 3, 4,...} kümesinin elemanlarına "sayma sayıları" denir. Doğal Sayılar N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} kümesinin elemanlarına doğal sayı denir. Tam Sayılar Z = {...,-2,-1, 0, 1,2, 3,...} kümesinin elemanlarına tam sayı denir. Negatif Tam Sayılar Kümesi Z ={...,-n -3, -2,-1} Pozitif Tam Sayılar Kümesi Z+ = {1,2, 3, 4 n, ...} Z = Z" u {0} u Z+ Çift Sayılar {..., -4, -2, 0, 2, 4 2n, ...} Tek Sayılar {..., -5, -3, -1, 1, 3 2n -1, ...} Örnek a ve b doğal sayılardır, a . b = 36 olduğuna göre a + b toplamı en çok kaçtır? Çözüm a . b = 36 i i 1 .36 -» -♦ -» A 12 B13 C15 D 20 E 37 1 + 36 = 37 en büyük 2 + 18 = 20 3 + 12 = 15 4 + 9 = 13 6 + 6 = 12 Çarpımları 36, toplamları en büyük olan sayılar 1 ile 36'dır. 1 ile 36'nın toplamı 37'dir. Doğru cevap E şıkkıdır. Örnek a, b, c, e N, a . b = 19 , b . c = 5 ise a + b + c toplamı kaçtır? Çözüm a . b = 19 19 . 1 = 19 ise a =19, b = 1, c = 5 olduğundan a + b + c=19 + 1+5 = 25 bulunur. Örnek a , b e N , a2 - b2 = 23 ise a = ? Çözüm a2 - b2 = 23 iki kare farkından a - b. a + b = 1 . 23 t f t f a-JT - 1 + a+ = +23 2a = 24 a = 12 bulunur. Örnek Rakamları farklı üç basamaklı birbirinden farklı beş sayının toplamı 657 olduğuna göre bu sayıların en büyüğü en çok kaçtır? A 253 B243 C 241 D 240 E 252 Çözüm 102 + 103 + 104 + 105 + x = 657 414 +x = 657 x = 243 bulunur. Doğru cevap B şıkkıdır. Örnek İki basamaklı beş sayının toplamı 412 olduğuna göre bu sayılardan en küçüğü en az kaçtır? A. 14 B15 C16 D 17 E 18 Çözüm 99 + 99 + 99 + 99 + x = 412 x = 412-396 x = 16 bulunur. Doğru cevap © şıkkıdır. Bu soruda rakamların farklı olması koşulu yoktur. Bu sayılardan en küçüğünü bulmak için diğer dört sayının en büyük değerlerini alması gerekir. Örnek Bir kişi, bir "a" sayısını 14 ile çarpmış ve sonucu 2524 bulmuştur. İşlemi kontrol ettiğinde "a" sayısının 3 olan onlar basamağını 8 olarak gördüğünü fark etmiştir. Buna göre doğru sonuç kaçtır? Çözüm 3 olan onlar basamağı 8 alındığında çarpım 5 . 10 = 50 kat fazla bulunmuştur. Yapılan hata, 14 . 50 = 700'dür. O hâlde doğru sonuç 2524-700 = 1824 olmalıdır. - FAKTÖRİYEL NE DEMEKTİR? faktöriyel ! sembolü ile n! demek 1'den n'e kadar olan sayılarının yanyana yazılıp çarpımı demektir. 5! demek 1'den 5'e kadar sayıların yanyana yazılıp çarpılmasıdır n!= 0!=1 1!=1 2!= 3!= 4!= 5!= 10!=7!. 6!=4!. örnek 5!/3!= n!/n-1!=n-1!.n/n-1!=n FAKTÖRİYELLER 1. x ve n sayma sayıları olmak üzere, 21! = ise, n nin alabileceği en büyük değer kaçtır? a 16 b 17 c 18 d 19 e 20 2. n bir doğal sayı olmak üzere, 67! / 15n işleminin sonucunun doğal sayı olması için, n nin en büyük değeri kaç olmalıdır? a 15 b 16 c 17 d 18 e 19 3. m ve n ardışık çift doğal sayılardır. m>n olmak üzere, m!/n! + 4 = 94 ise, n kaçtır ? a 7 b 8 c 9 d 10 e 11 4. 2! + 3! + 4! + … + 1472! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? a 1 b 2 c 3 d 4 e 5 5. 6! + 7! + 8! toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez ? a 3 b 5 c 15 d 25 e 45 6. 18! sayısı, 16! sayısının kaç katıdır? a 16 b 18 c 34 d 306 e 645 7. fa=a+2! ise, f3 - f2 = ? a 1 b 4 c 5 d 16 e 96 8. 120! - 83! - 1 sayısının sonunda kaç tane dokuz vardır? a 18 b 19 c 20 d 21 e 22 9. n.n+1! = 72 ise, n kaçtır? a 3 b 6 c 8 d 9 e 36 YANITLAR 1-C 2-A 3-B 4-B 5-D 6-D 7-E 8-B 9-A - ASAL SAYILAR Asal sayilar, 1 ve kendisinden baska pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayilardir. En küçük asal sayi, 2' dir. 2 asal sayisi disinda çift asal sayi yoktur. Yani, 2 sayisi disindaki tüm asal sayilar tek sayidir. Asal sayilar kümesi, { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... }dir. Fermat Teoremi' ne göre, n asal sayi olmak üzere, 2n - 1 seklinde yazilabilen sayilar asal sayidir. Örnegin, 22 - 1, 23 - 1, 25 - 1, 27 - 1, 211 - 1, ...sayilari, asal sayidir. Aralarinda asal sayilar 1' den baska pozitif ortak böleni olmayan sayilara, aralarinda asal sayilar adi verilir. Birden fazla sayinin aralarinda asal olmasi için, bu sayilarin asal sayi olmasi gerekmez. Asal sayilar, kesinlikle aralarinda asal sayilardir. Bununla birlikte, 10 ve 81 sayisi birer asal sayi olmamasina ragmen, aralarinda asal sayilardir. Diger taraftan, 10 ile 8 sayisi birer asal sayi olmamasina ragmen, 2 ortak bölenleri oldugu için, aralarinda asal sayilar degildir. Bir sayi aralarinda asal iki sayiya bölünebiliyorsa, bu iki sayinin çarpimina da bölünür. Örnegin, 2, 9 10, 81 5, 29 3, 8 2, 10, 35 sayi gruplari, ortak tam bölenleri olmadigi için aralarinda asal sayilardir. Asal olmayan sayilara da bilesik sayi adi verilir. Dolayisiyla, bilesik sayilarin 1 ve kendisinden baska bölenleri vardir. Örnegin, 10 sayisi bir bilesik sayidir. Çünkü, 10 sayisinin 1 ve kendisinden baska, 2 ile 5 böleni vardir. Buradan, asal olmayan 10 sayisi, birer asal sayi olan 2 sayisi ile 5 sayisinin çarpimi olarak yazilabilir. 2 ile 5 sayisina, 10 sayisinin asal çarpani veya böleni denir. Yani, bilesik bir sayi, asal sayilarin çarpimi seklinde yazilabilir. Örnek 1 Asagidaki sayi gruplarindan hangisi aralarinda asaldir? a 4, 20 b 6, 21 c 27, 36, 39 d 8, 24, 36 e 3, 5, 25 Çözüm a 4 ile 20' nin ortak böleni vardir ve bu da 2 ile 4' tür. b 6 ile 21' in ortak böleni vardir ve bu da 3' tür. c 27, 36 ve 39' un ortak böleni vardir ve ortak bölen 3' tür. d 8, 24 ve 36' nin ortak böleni vardir ve ortak bölen 2 ve 4' tür. e 3, 5 ve 25' in ortak böleni yoktur. Çünkü, bu üç sayiyi birden bölen 1' den baska sayi yoktur. Dolayisiyla, bu sayilar aralarinda asaldir. Örnek 2 2m + 3 ile 7n - 5 sayilari aralarinda asal olduguna göre, ise, m ve n kaçtir?Çözüm 2m + 3 ile 7n - 5 aralarinda asal olduklarina göre, 2m + 3 = 5 2m = 5 - 3 2m = 2 m = 17n - 5 = 9 7n = 9 + 5 7n = 14 n = 2bulunur. Örnek 3 a, b ve c birbirinden farkli rakamlar olmak üzere, ab ile bc iki basamakli aralarinda asal sayilardir. Buna göre, ab + bc toplaminin en küçük degeri kaçtir? Çözüm Toplamin en küçük olmasi için, sayilari en küçük almaliyiz. Buna göre, ab = 21 olurken. bc = 13 olmalidir. Dolayisiyla, ab + bc = 21 + 13 = 34 olur. Örnek 4 2x + y ile 4 x + y sayilari aralarinda asal olduguna göre, ise, 3x + 2y toplami kaçtir Çözüm 2x + y ile 4x + y sayilari aralarinda asal olduguna göre, her ikisinin de ortak böleni olmamasi gerektiginden, esitligin sag tarafi ortak bölenden arindirilmalidir. Dolayisiyla, olur ve buradan, 2x + y = 7 ... 1 4x + y = 9 ... 2 yazilir. Bu denklemleri ortak olarak çözelim. Bunun için, 1 nolu denklemi - 1 ile çarpalim ve 1 nolu denklemle 2 nolu denklemi taraf tarafa toplayalim. - 1 / 2x + y = 7 4x + y = 9 - 2x - y = - 7 4x + y = 9 Son iki denklemin toplami 2x = 2 x = 1 bulunur ve x = 1 degerini 1 nolu denklemde yerine koyalim + y = 7 y = 7 - 2 y = 5 bulunur. Buradan 3x + 2y = + = 3 +10 = 13 olur. SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI Her bilesik sayi, asal sayilarin veya asal sayilarin kuvvetlerinin çarpimi seklinde yazilabilir. Bu islemi yapmak için, ilgili sayinin sirasiyla en küçük asal sayidan baslanarak bölünebilmesi arastirilir. Örnek 1 124 sayisini asal çarpanlarina ayiralim. Çözüm 124= Örnek 2 500 sayisini asal çarpanlarina ayiralim. Çözüm 500= - Aralarında asal sayılar 1 den başka pozitif ortak böleni olmayan sayma sayılarına aralarında asal sayılar denir. Örnek 4 ile 9 aralarında asaldır. 7 ile 11 aralarında asaldır. Örnek 1 den 10 a kadar olan asal sayıların toplamı kaçtır? A 15 B17 C19 D 21 E 23 Çözüm 2+3+5+7=17 Doğru cevap B şıkkıdır Örnek 3 ile 5 aralarında asaldır. 2 ile 9 aralarında asaldır. 6 ile 12 aralarında asal değildir. Çünkü 6 ve 12 sayılarının pozitif ortak bölenleri, 1, 2, 3 ve 6'dır. - Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayı denir. Örnek bir irrasyonel sayıdır. Çünkü; a ve b birer tam sayı olmak üzere, şeklinde içinden tam olarak çıkamayan sayılar, e ve p gibi sayılar irrasyonel sayılardır. Rasyonel sayılar kümesine irrasyonel sayıların katılması ile reel sayılar kümesi elde edilir. İrrasyonel sayıların kümesi I ile gösterilir. Buna göre; QUI=R olur. - Gerçel sayılar veya Reel sayılar, Rasyonel sayılar kümesinin standart metriğe göre bütünlenmesiyle elde edilen kümedir. Reel sayılar kümesi sembolüyle gösterilir. Basit aritmetik teknikleriyle kolayca ispatlanabileceği üzere, tüm rasyonel sayıların tekrar eden birer ondalık açılımı vardır. Mesela veya eşitliklerinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Rasyonel sayılardan reel sayıları elde etme işlemini ise rasyonel sayılara ondalık açılımındaki rakamların periyodik tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz reel sayılara irrasyonel sayılar denir. - Sayı Ekseni Sayı ekseninde her noktaya bir reel sayı karşılık gelir. 0'a orijin başlangıç noktası denir. Sayı doğrusunda O'ın solunda negatif sayılar, sağında ise pozitif sayılar vardır. - ARDIŞIK SAYILAR Belli bir kurala göre bir birini takip eden sayı gruplarına ardışık sayılar denir. Ardışık doğal sayılar; 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….... Ardışık tek sayılar; 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …...... Ardışık çift sayılar; 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …...... 4 ün katı olan ardışık doğal sayılar; 0, 4, 8, 12, 16, …..... şeklinde devam eder. n bir tam sayı olmak üzere, 1- Ardışık dört tam sayı sırasıyla; n, n + 1, n + 2, n + 3 tür. 2-Ardışık dört çift sayı sırasıyla; 2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dır. 3-Ardışık dört tek sayı sırasıyla; 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir. 4-Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla; 3n, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 dur. Ardışık sayıların toplamı, sayı adedine bölünürse ortanca terim bulunur. Eğer sayı adedi çift ise, ortanca terim sayı dizisine ait değildir. UYARI İki ardışık sayının toplamı daima tektir. Bütün çift sayıların toplamı daima çifttir. Biraz örnek çözelim SORU İki ardışık sayının toplamı 97 ise bu sayılar kaçtır? Cevap n + n + 1 97 Yukarıda iki ardışık sayı n ve n +1 ile gösterilmiştir. İlk iş olarak fazlalık olan 1 i toplamdan yani 97 den çıkarıyoruz. 97 – 1 = 96 Artık fazlalık kalmadığına göre; ve iki ardışık sayımız olduğuna göre, kalan sayıyı ikiye bölerek küçük sayıyı bulabiliriz. 96 2 = 48 Küçük sayı Büyük sayıyı bulmak için ise; 48 + 1 = 49 SORU İki ardışık çift sayının toplamı 178 ise bu sayılar kaçtır? Cevap n + n + 2 178 Ardışık çift sayıların ikişer ikişer artıyor olması sebebiyle, bu defa ikinci sayımızdaki 2 fazlalığını toplamdan çıkarıyoruz. 178 – 2 = 176 Artık fazlalık kalmadı. iki sayımız olduğu için sonucu ikiye bölerek küçük sayımızı bulabiliriz. 176 2 = 88 Küçük sayı Büyük sayı, küçük sayıdan 2 fazla olduğuna göre; 2 ekleyerek büyük sayıyı bulabiliriz. 88 + 2 = 90 Büyük sayı NOT Bir çok öğrencimizin düştüğü tuzak; verilen sayıyı hemen sayı adedine bölmeleridir. Unutmayalım ki; ardışık sayılar belirli oranlarda artarak gider. Sizlerin öncelikle bu artışı toplamdan çıkarmanız gerekir. Daha sonra kaç sayı varsa, ona göre bölme işlemini yaparak küçük sayımızı bulabiliriz. Bu bölme işlemi sonrası çıkan sonuş bütün işlemlerde küçük sayıdır. Büyük sayıyı bulmak için ise tekrar ekleme yapmanız grekmektedir. Yukarıda da değinildiği üzere bu artış; ardışık sayılarda 1, ardışık çift ve ardışık tek sayılarda 2'dir. Ardışık çift ve ardışık tek sayılarla ilgili problemler aynı şekilde çözülür. çift ve tek oluşları kafanızı karıştırmasın. Çünkü her ikisi de 2'şer 2'şer artmaktadır. Bir tane de tek sayılarla ilgili çözerek görelim. SORU Ardışık iki tek sayının toplamı 108'dir. Buna göre küçük ve büyük sayıları bulalım. Cevap n + n + 2 108 Yine öncelikli hedefimiz fazlalığı çıkarmak, 108 - 2 = 106 Daha sonra iki sayı olduğu için sonucu ikiye bölerek küçük sayıyı bulmak, 106 / 2 = 53 Küçük sayı Büyük sayı için ise 2'yi tekrar eklememiz yeterli, 53 + 2 = 55 Büyük sayı ISINMA TURLARI SONA ERDİ, SORULARIMIZI BİRAZ DAHA ZORLAŞTIRALIM... SORU Ardışık üç sayının toplamı 246'dır. Buna göre küçük, orta ve büyük sayıları bulunuz. Cevap n n + 1 + n + 2 246 bu defaki fazlalıklarımız 1 ve 2 - yani 1 + 2 = 3 Bu fazlalığı toplamdan çıkaralım 246 - 3 = 243 Bu defa iki değil, üç sayımız var. O halde sonucuda 3'e bölmemiz gerekiyor. 243 / 3 = 81 Küçük sayı Ortanca sayı küçük sayıdan 1 fazla olduğuna göre; 81 + 1 = 82 ortanca sayı Büyük sayı küçük sayıdan 2 fazla olduğuna göre; 81 + 2 = 83 Büyük sayıdır SORU Ardışık üç çift sayının toplamı 222'dir. Buna göre; küçük, ortanca ve büyük sayıları bulunuz. Çözüm Çift sayılar 2'şer 2'şer artmaktaydı. O halde; n n + 2 + n + 4 222 Fazlalıklarımız 2 ve 4 - Yani 2 + 4 = 6 Bu fazlalığı çıkaralım 222 - 6 = 216 Üç sayımız olduğu için yine 3'e bölelim ve küçük sayımızı bulalım. 216 / 3 = 72 Küçük sayı 72 + 2 = 74 Ortanca sayı 72 + 4 = 76 Büyük sayı SORU Ardışık dört sayının toplamı 418' dir. Buna göre bu sayıları bulunuz. Cevap n n + 1 n + 2 + n + 3 418 Dört sayımızda yukarıda belirtilmiştir. fazlalıklara baktığımızda; 1, 2 ve 3' ü görüyoruz. yani 1 + 2 + 3 = 6 Fazlalığımızı çıkarıyoruz, 418 - 6 = 412 Dört sayımız olduğu için sonucu 4'e bölerek küçük sayımızı yani buluyoruz. 412 / 4 = 103 103 + 1 = 104 103 + 2 = 105 103 + 3 = 106 - Ardışık Çift Doğal Sayıların Toplamı 2+4+6+ ... + 2n = n.n+1 Örnek 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 42 toplamı kaçtır? Çözüm 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 42 = 21 .21 +1 = 21 .22 = 462dir. 2n = 42 => n = 21 terim Sayısıdır Örnek 32 + 34 + 36 + ... + 60 toplamı kaçtır? Çözüm 2 + 4 + 6 + ... + 60 = 30 . 31 = 930 2 + 4 + 6 + ... + 30 = 15 . 16 = 240 32+ 34+ 36+ ... + 60 = 2 + 4 + 6 + ... + 60 - 2 + 4 + 6 + ... + 30 = 930 - 240 = 690 bulunur. - Ardışık Tek Doğal Sayıların Toplamı 1 + 3 + 5 + .... + 2n − 1 = Örnek 1 + 3 + 5 + ... + 29 toplamı kaçtır? Çözüm 1 + 3 + 5 + ... + 29 = 152 = 225 bulunur. 2n - 1 = 29 =» 2n = 30 n = 15 terim Sayısıdır - Ardışık Sayılarda Terim Sayısı Son Terim - İlk Terim Terim Sayısı =- + 1 dır. Ortak Fark Örnek 13 + 17 + 21 + 25 + ... + 53 toplamı kaçtır? Çözüm Her ardışık terim arasındaki fark 4'tür. 17-13 = 4, 21-17 = 4, 25 - 21 = 4 gibi Technical support unit Ofline New Personal Website =>>> SMMM Selahattin Şahin Tavlada, iki zar üzerindeki tüm rakamların toplamı 42'dir. Tavla, özel bir platform üzerinde 2 zar ve 15 siyah, 15 beyaz taşla oynanan iki kişilik bir oyundur. Dünyadaki en eski oyunlardan biridir ve mirası pek çok millet tarafından sahiplenilir. Gelen zarları bir kâğıda yazın. Aşağı yukarı bin kez yek 1, bin kez dü 2, bin kez se 3,… gelmeli, yani her yüzün gelme olasılığı aşağı yukarı aynı olmalı. Eğer yalnızca 500 kez penç 5 gelmişse zarınız hileli Zar atarken nasıl hile yapılır?2 Yüksek zar nasıl atılır?3 2 zarda kaç ihtimal var?4 Zarda 1 in karşısında ne var?5 Zar oyununda nasıl kazanılır?6 Zarda 6 6 ne demek?7 Tavlada düşeş nasıl olur?Zar atarken nasıl hile yapılır?Nasıl yapılır 1 . Zarı bir fırın kabına . Seçilen sayıları yukarı . 120 derecede . 10 dakika pişmeye ipucu Tespit edilmekten kaçınmak için aynı, işlenmemiş zarları alın ve zaman zaman atın. Bu şekilde, her seferinde kazanamayacaksınız, ama neredeyse!Yüksek zar nasıl atılır?zarların dikey olarak üst üste konmasıyla yapılır. alttaki zarın üst yüzeyine, üstteki zarın ise alt yüzeyine gelmesini istediğiniz sayı yerleştirilerek zarlar tavla yüzeyine alçaktan ve yatay düzleme paralel şekilde atılır. hızı iyi ayarlamak gereklidir. alttaki zar hiç dönmemeli, üstteki zar ise sadece altı üstüne …2 zarda kaç ihtimal var?İki zarı bir arada atınca mümkün olasılıklar aşağıdaki tabloda görülmektedir. Parantez içindeki ilk sayı birinci zarın yüzünü, ikinci sayı ise ikinci zarın yüzünü göstermektedir. Çift zarın bir kez atılışında 36 olasılık 1 in karşısında ne var?Standart bir zarda iki karşı yüzdeki sayıların toplamı her zaman 7'ye eşittir. Örneğin; zarın 1'e denk gelen yüzünün karşı tarafı 6, 2'ye denk gelen yüzünün karşısı ise 5' oyununda nasıl kazanılır?Zarla oynanır. İki zar atıldığında toplamı 7 veya 11 ise kazanılır, 2-3-12 ise kaybedilir, 4-5-6-8-9-10 ise oyuncu bu toplamı veya 7'yi bulana kadar zarları atmaya devam eder. eğer zarlar toplamını atarsa kazanır, 7'yi atarsa 6 6 ne demek?Tavlada 6'ya kadar olan rakamların tek tek Farsça karşılıkları olmakla beraber atılan ikili zarlarda bütünleme şeklinde tarif edilir. En sevilen zarlardan olan Düşeş nasıl 6–6 zarlarını tarifliyorsa tüm ikili zarların bu şekilde tanımlaması düşeş nasıl olur?Ancak ilginçtir ki tavlada 2 tane 5 geldiğinde bu zar ikilisi Farsça okunmaz. Tavlanın en büyük ve en sevilen rakamı ise 6'dır. Farsça'da Şeş olarak okunan 6 rakamı iki zarda da göründüğünde ise Düşeş olarak tabir edilir. Küp şeklindeki standart bir zarın üzerindeki tüm rakamların toplamı kaçtır? Küp şeklindeki standart bir zarın üzerindeki tüm rakamların toplamı kaçtır? sorusu Kim milyoner olmak ister? adlı yarışma programında sorulmuş bir sorudur. Küp şeklindeki standart bir zarın üzerindeki tüm rakamların toplamı kaçtır? sorusunun doğru cevabına bakmadan önce lütfen aşağıdaki yorum bölümünden kendi cevabınızı yazabilirsiniz. Küp şeklindeki standart bir zarın üzerindeki tüm rakamların toplamı kaçtır? A. 18 B. 50 C. 21 D. 23 Küp şeklindeki standart bir zarın üzerindeki tüm rakamların toplamı kaçtır? Sorusunun Doğru Cevabı 21 18 nedir?, 50 nedir?, 21 nedir?, 23 nedir? 18 ne demektir?, 50 demektir?, 21 demektir?, 23 demektir? Kızlar, Erkekler ve Sohbet Konuları İstediğin konuda başlık aç, cevap yaz ve puan kazan. Görüşleriniz başkaları için çok değerli olabilir.

tavlada iki zar üzerindeki tüm rakamların toplamı kaçtır